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\author{Malvin Gattinger}
\title{Übungen zu PredLog}

\begin{document}
\parindent=0cm
\maketitle

\newcommand{\so}{\rightarrow}
\newcommand{\biso}{\leftrightarrow}

\section{PredLog Kalküle}

Beweise die folgenden Satzfolgen im Kalkül:

\begin{itemize}
 \item[a)] $ \forall x (Fx \land \lnot Gx) \vdash \exists y \lnot G y $
 \item[b)] $ p \so q , \lnot q \so \forall x F x \vdash \lnot q \so ( Fa \land
  \lnot p ) $
 \item[c)] $ \forall x \forall y ( F x \so G^2 x y ) , \lnot G^2 a b \vdash
  \lnot F a$
 \item[d)] $ Fa \lor Gb \vdash \exists x F x \lor \exists x G x $
 \item[e)] $ \forall x ( F x \so G x ) \vdash \forall y F x \so \forall x G x$
\end{itemize}


\section{PredLog Gegenmodelle}

Da wir mit dem Kalkül Argumente nur beweisen können benötigen wir eine weitere
Methode um Argumente zu widerlegen. Wir erstellen \emph{Gegenmodelle}, d.h.
Interpretationen die mögliche Welten beschreiben in denen die Prämissen des
Arguments wahr aber die Konklusion falsch ist. Die Angabe einer solchen
Interpretation genügt um das Argument als ungültig auszuweisen.

Widerlege die folgenden Argumente:

\begin{itemize}
 \item[a)] $ \forall y F x \so \forall x G x \vdash \forall x ( F x \so G x ) $
 \item[b)] $ p \lor \exists x F x \vdash q \land \forall x F x $
 \item[c)] $ \vdash F a \so \forall x F x $
 \item[d)] $ \forall x \exists y F^2 x y \vDash \exists y \forall x F^2 x y $
\end{itemize}

\section{PredLog Formalisierungen}

Formalisiere die folgenden Argumente und beweise oder widerlege dann die
jeweiligen Satzfolgen:

\begin{itemize}
 \item[a)] Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also:
  Sokrates ist sterblich.
 \item[b)] Alle Tische sind keine Menschen. Paul ist ein Mensch. Also: Paul ist
  kein Tisch.
 \item[c)] Einige Menschen sind religiös. Religiöse Menschen sind naiv. Also:
  Einige Menschen sind naiv.
 \item[d)] Alle Bayern gehen auf die Wiesn. Ludwig geht auf die Wiesen. Also:
  Ludwig ist ein lustiger Mensch oder ein Bayer.
\end{itemize}


\end{document}