\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}

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\author{Malvin Gattinger}
\title{Logik SS2012 - Übungsblatt 3}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0cm
\maketitle

\section*{Aufgabe 1}

a)\\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & \lnot p & \lnot p \vee q & p \vee ( \lnot p \vee q )  \\
\hline
W & W & F & W & W \\
W & F & F & F & W \\
F & W & W & W & W \\
F & F & W & W & W \\
\hline
\end{array}$ \\

\smallskip

b)\\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & (p \land q) & \lnot (p \land q) & \lnot (p \land q) \vee p \\
\hline
W & W & W & F & W \\
W & F & F & W & W \\
F & W & F & W & W \\
F & F & F & W & W \\
\hline
\end{array}$ \\

\smallskip

c)\\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & (p \rightarrow q) & \lnot (p \rightarrow q) &
\lnot (p \rightarrow q) \rightarrow p \\
\hline
W & W & W & F & W \\
W & F & F & W & W \\
F & W & W & F & W \\
F & F & W & F & W \\
\hline
\end{array}$ \\

\smallskip

d)\\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \land q & ( p \land q ) \leftrightarrow q & q \rightarrow p &
(p \land q \leftrightarrow q) \rightarrow (q \rightarrow p)  \\
\hline
W & W & W & W & W & W \\
W & F & F & W & W & W \\
F & W & F & F & F & W \\
F & F & F & W & W & W\\
\hline
\end{array}$ \\

\newpage

e)\\
$\begin{array}{|c|c|c|c|ccccccc|}
\hline
p & q & r & s &
(p \land q) & \vee & ( r \land s ) & \rightarrow & ( p \land r) & \vee & ( q
\land s )
\\
\hline
W & W & W & W & W & W & W & W & W & W & W \\
W & W & W & F & W & W & F & W & W & W & F \\
W & W & F & W & W & W & F & W & F & W & W \\
W & W & F & F & W & W & F & F & F & F & F \\

W & F & W & W & F & W & W & W & W & W & F \\
W & F & W & F & F & F & F & W & W & W & F \\
W & F & F & W & F & F & F & W & F & F & F \\
W & F & F & F & F & F & F & W & F & F & F \\

F & W & W & W & F & W & W & W & F & W & W \\
F & W & W & F & F & F & F & W & F & F & F \\
F & W & F & W & F & F & F & W & F & W & W \\
F & W & F & F & F & F & F & W & F & F & F \\

F & F & W & W & F & W & W & F & F & F & F \\
F & F & W & F & F & F & F & W & F & F & F \\
F & F & F & W & F & F & F & W & F & F & F \\
F & F & F & F & F & F & F & W & F & F & F \\
\hline
  &   &   &   &   & \hookrightarrow &   & \Uparrow &   & \hookleftarrow & \\
\hline
\end{array}$ \\
% Der Satz ist also nicht logisch determiniert und diese Teilaufgabe etwas
% schlicht lästiges.

\section*{Aufgabe 2}

Konjunktive Normalform:
\begin{center}
 $ (\lnot p \vee \lnot q \vee r ) \land
   (\lnot p \vee q \vee r ) \land
   (p \vee \lnot q \vee r )
  $
\end{center}

Disjunktive Normalform:
\begin{center}
 $ (p \land q \land r ) \vee
   (p \land \lnot q \land r ) \vee
   (\lnot p \land q \land r ) \vee
   (\lnot p \land \lnot q \land r ) \vee
   (\lnot p \land \lnot q \land \lnot r ) $
\end{center}

\section*{Aufgabe 3}

\emph{Vorbemerkung:}

Die Bindungsstärke der Junktoren ist in absteigender Reihenfolge von links nach
rechts:

\begin{center}
$\begin{array}{cccc}
       & \land & \\
 \lnot &       & \rightarrow & \leftrightarrow \\
       & \vee  & \\
\end{array}$ \\
(Konjunktion und Disjunktion binden gleich stark.)
\end{center}

Junktoren die stärker binden "`ziehen den Elementarsatz stärker zu sich"'.
Beispiel: Im Satz $ \lnot p \vee q $ streiten sich $\lnot$ und $\vee$ um das
$p$. Da $\lnot$ stärker bindet als $\vee$, gewinnt es den Streit und die hier
weggelassenen Klammern wären $ ( \lnot p ) \vee q$ .

\newpage

\emph{Lösung der Aufgabe:}

a) $ \lnot p \leftrightarrow \lnot q \vee r $ ist eindeutig. Die weggelassenen
Klammerungen sind $ ( \lnot p ) \leftrightarrow ( ( \lnot q ) \vee r ) $ .


b) $ p \land q \rightarrow r \leftrightarrow s $ ist eindeutig. Die
weggelassenen Klammerungen sind
$ ( ( ( p \land q ) \rightarrow r ) \leftrightarrow s ) $ .

c) $ p \rightarrow q \rightarrow r \rightarrow s $ ist ambig, da alle
Konditionale gleich stark binden. Mögliche Klammerungen wären zum Beispiel
$ ( p \rightarrow q ) \rightarrow ( r \rightarrow s ) $
oder
$ p \rightarrow ( q \rightarrow ( r \rightarrow s ) ) $ .
Diese Sätze sind jedoch nicht logisch äquivalent.

\section*{Aufgabe 4}


a) $ p \rightarrow q , \lnot q \models \lnot p $ ist gültig, genau dann wenn
$ ( p \rightarrow q ) \land \lnot q \rightarrow \lnot p $
logisch wahr ist. \\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \rightarrow q & \lnot q & p \rightarrow q \land \lnot q & \lnot p & 
( p \rightarrow q ) \land \lnot q \rightarrow \lnot p \\
\hline
W & W & W & F & F & F & W \\
W & F & F & W & F & F & W \\
F & W & W & F & F & W & W \\
F & F & W & W & W & W & W \\
\hline
\end{array}$ \\
Dieser Satz ist logisch wahr und das Argument daher gültig.

\smallskip

b) Das Argument $ p \rightarrow q , p \rightarrow ¬q \models \lnot p $ ist
gültig, genau dann wenn der Satz $ ( p \rightarrow q ) \land ( p \rightarrow
\lnot q ) \rightarrow \lnot p $ logisch wahr ist. \\
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
p & q & p \rightarrow q & \lnot q & p \rightarrow \lnot q &
( p \rightarrow q ) \land ( p \rightarrow \lnot q ) & \lnot p &
( p \rightarrow q ) \land ( p \rightarrow \lnot q ) \rightarrow \lnot p \\
\hline
W & W & W & F & F & F & F & W \\
W & F & F & W & W & F & F & W \\
F & W & W & F & W & W & W & W \\
F & F & W & W & W & W & W & W \\
\hline
\end{array}$ \\
Dieser Satz ist logisch wahr und das Argument daher gültig.

\smallskip

c) Das Argument $ p \rightarrow (q \rightarrow r) , p \rightarrow q \models p
\rightarrow r $ ist gültig, genau dann wenn der Satz $ (p \rightarrow (q
\rightarrow r)) \land ( p \rightarrow q ) \rightarrow (p \rightarrow r ) $
logisch wahr ist. \\
$\begin{array}{|c|c|c|ccccccc|}
\hline
p & q & r &
(p & \rightarrow & (q \rightarrow r ) ) & \land & ( p \rightarrow q )
& \rightarrow & (p \rightarrow r ) \\

\hline
W & W & W &   & W & W & W & W & W & W \\
W & W & F &   & F & F & F & W & W & F \\
W & F & W &   & W & W & F & F & W & W \\
W & F & F &   & W & W & F & F & W & F \\
F & W & W &   & W & W & W & W & W & W \\
F & W & F &   & W & F & W & W & W & W \\
F & F & W &   & W & W & W & W & W & W \\
F & F & F &   & W & W & W & W & W & W \\
\hline
  &   &   &   &   &   & \hookrightarrow &   & \Uparrow & \hookleftarrow \\
\hline
\end{array}$ \\
Dieser Satz ist logisch wahr und das Argument daher gültig.


\end{document}