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\author{Malvin Gattinger}
\title{Logik SS2011 - Übungsblatt 8}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0cm
\maketitle

\newcommand{\so}{\rightarrow}

\section*{Aufgabe 1}

a) "`Alle Hunde sind Säugetiere."'

$ F ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ein Hund. \\
$ G ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ein Säugetier

\begin{center}
 $ \forall x ( F^1 x \so G^1 x ) $
\end{center}


b) "`Einige Haifische sind ovovivipar."'

$ F ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ein Haifisch. \\
$ G ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ovovivipar.

\begin{center}
 $ \exists x ( F^1 x \land G^1 x ) $
\end{center}

c) "`Einige Haifische sind pelagische Fische, aber nicht alle pelagischen
Fische sind Haifische."'

$ F ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ein Haifisch. \\
$ G ^1 \alpha $ : $ \alpha $ ist ein pelagischer Fisch.

\begin{center}
 $ \exists x ( F ^1 x \land G ^1 x ) \land \lnot \forall x ( G ^1 x \so F^1 x )
$
\end{center}


\section*{Aufgabe 2}

\begin{itemize}
  \item[(a)] $ \forall xF ^2 ax $ ist eine Instanz von (a)

  \item[(b)] $ \exists x(F ^2 xa \land  \forall yG ^3 yxa) $ ist eine Instanz
             von  (f) und von (i).

  \item[(c)] $ \exists xF ^2 ax $

  \item[(d)] $ F ^2 ab $ ist eine Instanz von (a) und von (v).

  \item[(e)] $ \exists y \forall xF ^2 yx $

  \item[(f)] $ \exists z \exists x(F ^2 xz \land  \forall yG ^3 yxa) $

  \item[(g)] $ \forall x \forall yF ^2 xy $

  \item[(h)] $ \forall xF ^2 xa $

  \item[(i)] $ \exists z \exists x(F ^2 xz \land  \forall yG ^3 yxz) $

  \item[(j)] $ F ^2 ba \land  \forall yG ^3 yba $ ist eine Instanz von (b).

\end{itemize}


\section*{Aufgabe 3}

(a) $ \exists x ( G x \land \lnot F x ) , \forall x ( G x \lnot H x ) \dashv
\exists x ( H x  \land \lnot F x ) $ \\

$\begin{array}{llll}
1     & (1) & \exists x ( G x \land \lnot F x )   & A \\
2     & (2) & \forall x ( G x \so \lnot H x )     & A \\
3     & (3) & G a \land \lnot F a                 & A \\
3     & (4) & G a                                 & 3 \land E \\
3     & (5) & \lnot F a                           & 3 \land E \\
2     & (6) & G a \so H a                         & 2 \forall E \\
2,3   & (7) & H a                                 & 4,6 \so E \\
2,3   & (8) & H a \land \lnot F a                 & 5,7 \land I \\
2,3   & (9) & \exists x ( H x \land \lnot F x )   & 8 \exists I \\
1,2   & (10)& \exists x ( H x \land \lnot F x )  & 1,9 \exists E (3) \\
\end{array}$


\bigskip


(b) $ \forall x ( P x \so q )  \dashv \vdash  \exists x P x \so q $

$ \vdash $ : \\
$\begin{array}{llll}
1     & (1) & \forall x ( P x \so q )             & A \\
2     & (2) & \exists x P x                       & A \\
3     & (3) & P a                                 & A \\
1     & (4) & P a \so q                           & 1 \forall E \\
1,3   & (5) & q                                   & 3,4 \so E \\
1,2   & (6) & q                                   & 1,5 \exists E ( 3 ) \\
1     & (7) & \exists x P x \so q                 & 6 \so I (2) \\
\end{array}$

\smallskip

$ \dashv $ : \\
$\begin{array}{llll}
1     & (1) & \exists x P x \so q                 & A \\
2     & (2) & P a                                 & A \\
2     & (3) & \exists x P x                       & 2 \exists I \\
1,2   & (4) & q                                   & 1,3 \so E \\
1     & (5) & Pa \so q                            & 5 \so I (2) \\
1     & (6) & \forall x ( P x \so q )             & 5 \forall I \\
\end{array}$


\end{document}