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\author{Malvin Gattinger}
\title{Logik SS2011 - Übungsblatt 5}
\date{}

\begin{document}
\parindent=0cm
\maketitle

\newcommand{\so}{\rightarrow}

\section*{Aufgabe 1}

Wir betrachten das folgende Argument mit zwei Prämissen:

\begin{itemize}
 \item[P1] Wenn sie hart arbeitet, dann hat sie keine Zeit zum Tanzen.
 \item[P2] Wenn sie nicht hart arbeitet, dann wird sie die Logikprüfung nicht
	   bestehen.
 \item[K ] Es ist falsch, dass sie Zeit zum Tanzen hat und die Logikprüfung
	   bestehen wird.
\end{itemize}

Wir verwenden folgende Buchstaben für die enthaltenen Elementarsätze:

\begin{itemize}
 \item[$p$] Sie arbeitet hart.
 \item[$q$] Sie hat Zeit zum Tanzen.
 \item[$r$] Sie wird die Logikprüfung bestehen
\end{itemize}

Das Argument erhält dann die Form:
\begin{center}
 $ p \so \lnot q , \lnot p \so \lnot r \vdash \lnot ( q \land r ) $
\end{center}

Ein Beweis / Eine Ableitung dieses Arguments ist:\\
\definecolor{myg}{RGB}{210,210,210}
\arrayrulecolor{myg}
$\begin{array}{llll}
1   & (1) & p \so \lnot q        & A \\
2   & (2) & \lnot p \so \lnot r  & A \\
\hline
3   & (3) & q \land r            & A \\
3   & (4) & q                    & 3 \land E \\
4   & (5) & r                    & 3 \land E \\
\hline
6   & (6) & p                    & A \\
1,6 & (7) & \lnot q              & 1,6 \so E \\
1,3 & (8) & \lnot p              & 4,7 RAA (6) \\
\hline
9   & (9) & \lnot p              & A \\
2,9 & (10) & \lnot r             & 2,9 \so E \\
2,3 & (11) & p                   & 4,10 RAA (9) \\
\hline
1,2 & (12) &\lnot ( q \land r )  & 8,11 RAA (3) \\
\end{array}$ \\
(Die Trennlinien dienen lediglich der Orientierung, sie haben keine formale
Bedeutung.)

\section*{Aufgabe 2}

a)\\
$\begin{array}{llll}
1   & (1) &  \lnot p \so \lnot q & A \\
2   & (2) & q & A\\
3   & (3) & \lnot p & A\\
1,3 & (4) & \lnot q & 1,3 \so E \\
1,2 & (5) & p & 2,4 RAA (3) \\
\end{array}$

\bigskip

b)\\
$\begin{array}{llll}
1 & (1) & p \land \lnot p         & A \\
1 & (2) & p                       & 1 \land E \\
1 & (3) & \lnot p                 & 1 \land E \\
  & (4) & \lnot ( p \land \lnot p ) & 2,3 RAA (1) \\
\end{array}$

\end{document}